第六节-数值微分与方程求解

01-线性方程组求解





% 第六节-数值微分与方程求解
% 01-线性方程组求解



% 1、直接法
% 2、迭代法

%   线性方程组的直接解法
%   高斯(Gauss)消去法
%   列主元消去法
%   矩阵的三角分解法

% 1、利用左除运算符的直接求法
%  Ax=b ---> x=A\b  即 x=inv(A)*b
%  但是 必须保证 |A|！=0
% eg 
% 2x1+x2-5x3+x4=13
% x1-5x2+7x4=-9
% 2x2+x3-x4=6
% x1+6x2-x3-x4=0

A=[2,1,-5,1;  %建立A矩阵
    1,-5,0,7;
    0,2,1,-1;
    1,6,-1,-4]
b=[3,-9,6,0]' %建立b向量，这里是列向量
x1=A\b        %求解x
x2=inv(A)*b   %等价的 x1=x2 ，不建议用逆矩阵求解，增加计算机运算量

% 利用矩阵分解求解线性方程组
% LU分解
% QR分解
% Cholesky分解

% MATLAB的LU分解函数
% [L,U]=lu(A): 产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角
% 阵L，使之满足A=LU。注意，这里的矩阵A必须是方阵。

%[L,U,P]=lu(A):产生-一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一
%个置换矩阵P，使之满足PA=LU。同样，矩阵A必须是方阵。

% eg 利用LU 分解求解线性方程组
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]
b=[13,-9,6,0]' % b是列向量，末尾加【'】变成列向量
[L,U]=lu(A) % 对A矩阵进行分解
x3=U\(L\b)   % 极大提高解析效率
% 或者使用：
[L,U,P]=lu(A)
x4=U\(L\P*b)



%线性方程组的迭代求解法
%   1、雅可比( Jacobi)迭代法
%   原理 Ax=b
%   A=D-L-U  -->  (D-L-U)x=b
%   注：D为对角线元素形成的矩阵
%       L为主对角线以下元素的取反（前面加负号）形成的矩阵
%       U为主对角线以上元素的取反（前面加负号）形成的矩阵
%  x=D^(-1)(L+U)x+D^(-1)b
%  x(k+1)=D^(-1)(L+U)x(k)+D^-1*b --> B=D^(-1)(L+U), f=D^(-1)b
%  x(k+1)=Bx(k)+f


%   2、高斯赛德尔( Gauss-Serdel)迭代法
%  可以自己去了解一些

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