天真的贝叶斯，神奇的贝叶斯方法【图文】

Bayes

如果说在数学中有什么方法即让人怀疑又让人迷恋，那么贝叶斯方法一定是一个典型。这个曾经被视为“民科”的方法竟然在今天的多个领域大行其道，不禁让人感慨它的神奇之处。一种方法竟然能写成一本书，必然有其牛逼之处。

我们先来读一句英语：

The girl saw the boy with a telescope.

这句话你怎么翻译呢？平常人肯定会说：那个女孩拿望远镜看见了那个男孩（即你对这个句子背后的实际语法结构的猜测是：The girl saw-with-a-telescope the boy ）。然而，仔细一想，你会发现这个句子完全可以解释成：那个女孩看见了那个拿着望远镜的男孩（即：The girl saw the-boy-with-a-telescope ）。那为什么平常生活中我们每个人都能够迅速地对这种二义性进行消解呢？这背后到底隐藏着什么样的思维法则？我们留到后面解释。

贝叶斯思想的产生

长久以来，人们对一件事情发生或不发生的概率，只有固定的0和1，即要么发生，要么不发生，从来不会去考虑某件事情发生的概率有多大，不发生的概率又是多大。而且概率虽然未知，但最起码是一个确定的值。

比如如果问那时的人们一个问题：“有一个袋子，里面装着若干个白球和黑球，请问从袋子中取得白球的概率是多少？”他们会想都不用想，会立马告诉你，取出白球的概率就是1/2，要么取到白球，要么取不到白球，即θ只能有一个值，而且不论你取了多少次，取得白球的概率θ始终都是1/2，即不随观察结果X的变化而变化。

这种频率派的观点长期统治着人们的观念，直到后来一个名叫Thomas Bayes的人物出现。 

贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。贝叶斯思想和方法对概率统计的发展产生了深远的影响。今天，贝叶斯思想和方法在许多领域都获得了广泛的应用。

贝叶斯在世时，并不为当时的人们所熟知，很少发表论文或出版著作，与当时学术界的人沟通交流也很少，用现在的话来说，贝叶斯就是活生生一民间学术“屌丝”，可这个“屌丝”最终发表了一篇名为“An essay towards solving a problem in the doctrine of chances”，翻译过来则是：机遇理论中一个问题的解。你可能觉得这篇论文的发表随机产生轰动效应，从而奠定贝叶斯在学术史上的地位。

事实上，上篇论文发表后，在当时并未产生多少影响，在20世纪后，这篇论文才逐渐被人们所重视。这种际遇，与梵高何其类似，画的画生前一文不值，死后价值连城，令人唏嘘。

频率派与贝叶斯派各自不同的思考方式：

频率派把需要推断的参数θ看做是固定的未知常数，即概率虽然是未知的，但最起码是确定的一个值，同时，样本X 是随机的，所以频率派重点研究样本空间，大部分的概率计算都是针对样本X 的分布；

而贝叶斯派的观点则截然相反，他们认为参数是随机变量，而样本X 是固定的，由于样本是固定的，所以他们重点研究的是参数的分布。

据此贝叶斯提出一种看上去似乎显而易见的观点：“用客观的新信息更新我们最初关于某个事物的信念后，我们就会得到一个新的、改进了的信念。”

这个研究成果，因为简单而显得平淡无奇，直到他死后的两年才于1763年由他的朋友理查德·普莱斯帮助发表。它的数学原理很容易理解，简单说就是，如果你看到一个人总是做一些好事，则会推断那个人多半会是一个好人。这就是说，当你不能准确知悉一个事物的本质时，你可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其本质属性的概率。

用数学语言表达就是：支持某项属性的事件发生得愈多，则该属性成立的可能性就愈大。 与其他统计学方法不同，贝叶斯方法建立在主观判断的基础上，你可以先估计一个值，然后根据客观事实不断修正。

拉普拉斯的助攻

1774年，法国数学家拉普拉斯独立地再次发现了贝叶斯公式。拉普拉斯关心的问题是：当存在着大量数据，但数据又可能有各种各样的错误和遗漏的时候，我们如何才能从中找到真实的规律。

拉普拉斯研究了男孩和女孩的生育比例。有人观察到，似乎男孩的出生数量比女孩更高。这一假说到底成立不成立呢？拉普拉斯不断地搜集新增的出生记录，并用之推断原有的概率是否准确。每一个新的记录都减少了不确定性的范围。拉普拉斯给出了我们现在所用的贝叶斯公式的表达：

P(A/B)=P(B/A)*P(A)/P(B) 

由条件概率到贝叶斯公式

条件概率（又称后验概率）就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。

在贝叶斯之前，人们已经能够计算“正向概率”，如“假设袋子里面有N个白球，M个黑球，你伸手进去摸一把，摸出黑球的概率是多大”。而一个自然而然的问题是反过来：“如果我们事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而是闭着眼睛摸出一个（或好几个）球，观察这些取出来的球的颜色之后，那么我们可以就此对袋子里面的黑白球的比例作出什么样的推测”。这个问题，就是所谓的逆概问题。

我们用wiki上例子来说明：

一所学校里面有 60% 的男生，40% 的女生。男生总是穿长裤，女生则一半穿长裤一半穿裙子。有了这些信息之后我们可以容易地计算“随机选取一个学生，他（她）穿长裤的概率和穿裙子的概率是多大”，这个就是前面说的“正向概率”的计算。然而，假设你走在校园中，迎面走来一个穿长裤的学生（很不幸的是你高度近似，你只看得见他（她）穿的是否长裤，而无法确定他（她）的性别），你能够推断出他（她）是男生的概率是多大吗？

我们来算一算：

假设学校里面人的总数是 U 个。

60% 的男生都穿长裤，于是我们得到了 U * P(Boy) * P(Pants|Boy) 个穿长裤的（男生）（其中 P(Boy) 是男生的概率 = 60%，这里可以简单的理解为男生的比例；P(Pants|Boy) 是条件概率，即在 Boy 这个条件下穿长裤的概率是多大，这里是 100% ，因为所有男生都穿长裤）。

40% 的女生里面又有一半（50%）是穿长裤的，于是我们又得到了 U * P(Girl) * P(Pants|Girl) 个穿长裤的（女生）。加起来一共是 U * P(Boy) * P(Pants|Boy) + U * P(Girl) * P(Pants|Girl) 个穿长裤的，其中有 U * P(Girl) * P(Pants|Girl) 个女生。

两者一比就是你要求的答案。

下面我们把这个答案形式化一下：

我们要求的是 P(Girl|Pants) （穿长裤的人里面有多少女生），计算的结果是 ：

U * P(Girl) * P(Pants|Girl) / [U * P(Boy) * P(Pants|Boy) + U * P(Girl) * P(Pants|Girl)]

容易发现这里校园内人的总数是无关的，可以消去。于是得到：

P(Girl|Pants) = P(Girl) * P(Pants|Girl) / [P(Boy) * P(Pants|Boy) + P(Girl) * P(Pants|Girl)]

注意，如果把上式收缩起来，分母其实就是 P(Pants) ，分子其实就是 P(Pants, Girl) 。而这个比例很自然地就读作：在穿长裤的人（ P(Pants) ）里面有多少（穿长裤）的女孩（ P(Pants, Girl) ）。

上式中的 Pants 和 Boy/Girl 可以指代一切东西，所以其一般形式就是：

P(B|A) = P(A|B) * P(B) / [P(A|B) * P(B) + P(A|~B) * P(~B) ]

我们就得出了经典的贝叶斯公式：

P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)

拉普拉斯说，概率论只是用数学公式把常识表现出来而已，大师的话确实让人深思。 

贝叶斯图像识别

贝叶斯方法是一个非常 general 的推理框架。其核心理念可以描述成：Analysis by Synthesis （通过合成来分析）。认知科学新进展上有一篇 paper 就是讲用贝叶斯推理来解释视觉识别的，下图就是摘自这篇 paper ：

首先是视觉系统提取图形的边角特征，然后使用这些特征自底向上地激活高层的抽象概念（比如是 E 还是 F 还是等号），然后使用一个自顶向下的验证来比较到底哪个概念最佳地解释了观察到的图像。

朴素贝叶斯算法

贝叶斯是从统计概率的角度来进行分类，确切来说是条件概率，例如要猜是哪一类动物，该动物具备的特征是：四条腿、高度超过x米、哺乳动物，那么在这些特征前提下，计算其为哪种动物的概率。

这里假设事物的属性只有两个x和y，类别用ci表示，可以通过条件概率或贝叶斯方法推测到：

这样，就可以得出，在某个特定特征下属于某个类别的概率有多大，从而进行分类。所谓的朴素贝叶斯，假设的是：特征之间相互独立且是同等重要的，这样上面的公式就可以变为：

朴素贝叶斯的思想基础是这样的：对于给出的待分类项，求解在此项出现的条件下各个类别出现的概率，哪个最大，就认为此待分类项属于哪个类别。通俗来说，就好比这么个道理，你在街上看到一个黑人，我问你你猜这哥们哪里来的，你十有八九猜非洲。为什么呢？因为黑人中非洲人的比率最高，当然人家也可能是美洲人或亚洲人，但在没有其它可用信息下，我们会选择条件概率最大的类别，这就是朴素贝叶斯的思想基础。

朴素贝叶斯分类的流程可以由下图表示（暂时不考虑验证）：

贝叶斯网络

如果我们并不清楚一个现象的原因，就首先根据我们认为最有可能的原因来建立一个模型。然后将每个可能的原因当作网络中的节点连接起来，根据我们的预判或是专家的意见给每条连接分配一个先验概率值。换句话说，网络中的每个节点都通过贝叶斯公式和其他节点相连。接下来，只需向这个模型代入观察数据，通过网络节点间的贝叶斯公式重新计算出概率值即可。为每一个新数据、每一条连接重复这一计算，直到形成一个网络图，任意两个原因之间的连接都得出精确的后验概率值为止。这事便成了！

一个贝叶斯网络实例

神奇的贝叶斯方法

在经典统计学看来，科学是关于客观事实的研究，我们只要反复观察一个可重复的现象，直到积累了足够多的数据，就能从中推断出有意义的规律。而贝叶斯方法却要求科学家像算命先生一样，从主观猜测出发，这显然不符合科学精神。

实际上，统计学家和贝叶斯学家有一个有趣的争论，统计学家说：我们让数据自己说话。言下之意就是要摒弃先验概率。而贝叶斯支持者则说：数据会有各种各样的偏差，而一个靠谱的先验概率则可以对这些随机噪音做到健壮。

事实证明贝叶斯派胜利了，胜利的关键在于所谓先验概率其实也是经验统计的结果，譬如为什么我们会认为绝大多数硬币是基本公平的？为什么我们认为大多数人的肥胖适中？为什么我们认为肤色是种族相关的，而体重则与种族无关？先验概率里面的“先验”并不是指先于一切经验，而是仅指先于我们“当前”给出的观测数据而已，在硬币的例子中先验指的只是先于我们知道投掷的结果这个经验，而并非“先天”。

我们可以回到那个自然语言二义性的例子，并给出一个完美的解释了：如果语法结构是 The girl saw the-boy-with-a-telecope 的话，怎么那个男孩偏偏手里拿的就是望远镜——一个可以被用来 saw-with 的东东捏？这也忒小概率了吧。他咋就不会拿本书呢？拿什么都好。怎么偏偏就拿了望远镜？所以唯一的解释是，这个“巧合”背后肯定有它的必然性，这个必然性就是，如果我们将语法结构解释为 The girl saw-with-a-telescope the boy 的话，就跟数据完美吻合了——既然那个女孩是用某个东西去看这个男孩的，那么这个东西是一个望远镜就完全可以解释了（不再是小概率事件了）。

作为牧师的贝叶斯，生命里充满了天真的想法和浪漫色彩，他甚至把感性因素和理想主义注入到科学的实践中，但这丝毫没有影响一个伟大的方法的诞生。平凡而又神奇，这大概是贝叶斯方法最为让人着迷的地方。

神奇的贝叶斯方法

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