偏度与峰度的正态性分布判断【图文】

 当我们应用统计方法对数据进行分析时，会发现许多分析方法如T检验、方差分析、相关分析以及线性回归等等，都要求数据服从正态分布或近似正态分布，正态分布在机器学习的重要性后期会讲述。上一篇文章用Q-Q图来验证数据集是否符合正态分布，本文首先介绍了偏度与峰度的定义，然后用偏度与峰度检测数据集是否符合正态分布，最后分析该检测算法的适用条件以及SPSS的结果分析。

1、 偏度与峰度

（1） 偏度（Skewness）

        偏度衡量随机变量概率分布的不对称性，是相对于平均值不对称程度的度量，通过对偏度系数的测量，我们能够判定数据分布的不对称程度以及方向。

具体来说，对于随机变量X，我们定义偏度为其的三阶标准中心距:

对于样本的偏度，我们一般记为SK，我们可以基于矩估计，得到有：

        偏度的衡量是相对于正态分布来说，正态分布的偏度为0，即若数据分布是对称的，偏度为0。若偏度大于0，则分布右偏，即分布有一条长尾在右；若偏度小于0，则分布为左偏，即分布有一条长尾在左（如下图）；同时偏度的绝对值越大，说明分布的偏移程度越严重。

【注意】数据分布的左偏或右偏，指的是数值拖尾的方向，而不是峰的位置。

（2） 峰度（Kurtosis）

        峰度，是研究数据分布陡峭或平滑的统计量，通过对峰度系数的测量，我们能够判定数据相对于正态分布而言是更陡峭还是平缓。比如正态分布的峰度为0，均匀分布的峰度为-1.2（平缓），指数分布的峰度为6（陡峭）。

峰度，定义为四阶中心距除以方差的平方减3。

若峰度≈0，分布的峰态服从正态分布；

若峰度>0，分布的峰态陡峭（高尖）；

若峰度<0，分布的峰态平缓（矮胖）；

2、 正态性检验

        利用变量的偏度和峰度进行正态性检验时，可以分别计算偏度和峰度的Z评分（Z-score）。

偏度Z-score = 偏度值 ÷偏度值的标准差

峰度Z-score = 峰度值 ÷峰度值的标准差

在α=0.05的检验水平下，偏度Z-score和峰度Z-score是否满足假设条件所限制的变量范围，若都满足则可认为服从正态分布，若一个不满足则认为不服从正态分布。

3、 正态性检验的适用条件

        样本的增加会减小偏度值和峰度值的标准差，相应的Z-score会变大，最终会拒绝条件假设，会给正确判断样本数据的正态性情况造成一定的干扰。因此，当样本量小于100时，用偏度和峰度来判断样本的正态分布性比较合理。

4、 SPSS结果分析

峰度Z-score = 5.166/0.425 > Z(α)，α=0.05；因此该特征不符合正态分布。

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