线性代数-求解地球法线【图文】

本文主要从数学的角度来证明如何求解地球的法向量。从以下几个方面进行介绍：

1、地球坐标系

2、笛卡尔坐标系下法向量证明

3、经纬度坐标系下法向量证明

4、经纬度转笛卡尔证明

5、东北天的坐标向量证明

地球坐标系

这里解释用笛卡尔坐标系表示和用经纬度来表示。

地心地固坐标系（Earth-Centered, Earth-Fixed） 又简称地心坐标系，英文简称（ECEF）。

用笛卡尔坐标系表示：

笛卡尔坐标系

其中：

1、O为椭球的中心点

2、Z轴指向椭球的北极N

3、X轴指向起始子午面与赤道的交点

4、Y轴位于赤道面上，且按右手坐标系与X轴成90度夹角

经纬度表示

假设空间某点P，用经纬度表示的话，你们B代表纬度，L代表经度，H代表大地高。

纬度B：P点沿着地球法线方向与赤道面的夹角。向北为正称为北纬（0-90），向南为负称为南纬（0-90） 实际表示可以用（-90 --90）

纬度L：NPS面与参考椭球起始子午面NGS的夹角。由起始子午面起算，向东为正称为东经（0-180），向西为负称为西经（0-180）。实际表示用（-180-180）。

大地高H：表示P点沿该点法线到椭球面的距离，向上为正，向下为负。

笛卡尔坐标系下法向量证明

笛卡尔坐标系下，地球曲面可以用下面函数表达：

我们先从曲线的切线开始研究，先选择曲面上的任意一条曲线，可以用下面函数表示：

曲线上任意一点的切线，可以用下面函数表达式表示：

为什么可以这么表示呢？我的思路如下：

假设取曲线上两点：A(x1,y1,z1) 和 B(x2,y2,z2)

那么AB向量可以表示如下：

AB向量相同方向的向量可以表示如下：

当我们x2和x1无线接近的时候，其实曲线的任意一点的切线即为

接下来我们回到地球曲面函数

我们对曲面函数对x求偏导。

换算成向量点乘的形式：

我们可以发现向量(Fx,Fy,Fz)与所有曲线的切线垂直。所以得出曲面某点的法线为（Fx,Fy,Fz）。

地球的曲面方程为：

那么椭球某点法向量为：

经纬度坐标系下法向量证明

经纬度的定义可以见上图，这里在重复一下：

我们把发现PO'平移到经过原点，可以绘制出下图，AG即新的法向量，G点位法向量平移之后与球面的交点。

我们可以算出如下结果：

最终可以求出AG的向量如下。

同时去掉R，法向量的方向性没有变化，可以写出法向量与经纬度之间的关系：

经纬度转笛卡尔证明

已知某点的经纬度和大地高，求其笛卡尔坐标系坐标。

根据经纬度坐标系下法向量证明，我们可以通过经纬度和大地高计算出地球的法向量，而且是个明确的值。假设计算法向量为n。

根据笛卡尔坐标系下法向量证明，我们可以通过笛卡尔坐标系计算出法向量如下：

我们这里只能保证法向量的方向一致，我们可以将法向量n写成下面的格式

我们两边*呈上一个向量如下： 

这里的*不是点乘也不是X乘，其运行定义参考下面函数：

  template<typename T, qualifier Q>
GLM_FUNC_QUALIFIER GLM_CONSTEXPR vec<3, T, Q> operator*(vec<3, T, Q> const& v1, vec<3, T, Q> const& v2)
  {
return vec<3, T, Q>(
v1.x * v2.x,
v1.y * v2.y,
v1.z * v2.z);
  }

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