分段Hermite插值推导【附源码】

分段线性插值多项式$S(x)$在插值区间$[a,b]$上只能保证连续性，而不光滑。要想得到在插值区间上光滑的分段线性插值多项式，可采用分段埃尔米特（Hermite）插值，这里我们考虑在整个$[a,b]$上用分段三次埃尔米特插值多项式来逼近$f(x)$。一般的将带有导数的插值多项式称为Hermite插值多项式。

如果已知函数$y=f(x)$在节点 a = x 0 < x 1 < … < x n = b a = x_0<x_1<…<x_n = b a=x0​<x1​<…<xn​=b处的函数的值和导数值：

则在小区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_i] [xi−1​,xi​]上有四个插值条件：

故能构造一个三次多项式$H(x)$，并称为三次Hermite插值多项式。这时在整个$[a,b]$上可以用分段三次Hermite插值多项式来逼近$f(x)$。

其中 H i ( x ) , x ∈ [ x i − 1 , x i ] H_i(x),x\in[x_{i-1},x_i] Hi​(x),x∈[xi−1​,xi​]满足条件：

关于 H i ( x ) H_i(x) Hi​(x)的构造，我们可以通过基函数来进行，这时令：

其中 φ i − 1 ( x ) , φ i ( x ) , ψ i − 1 ( x ) , ψ i ( x ) \varphi_{i-1}(x),\varphi_{i}(x),\psi_{i-1}(x),\psi_{i}(x) φi−1​(x),φi​(x),ψi−1​(x),ψi​(x)均为三次多项式,并称为三次Hermite插值多项式的基函数。对上式两边关于$x$求导，得到

则由插值条件

可以分别给出基函数满足的条件：

下面具体求解基函数 φ i − 1 ( x ) , φ i ( x ) , ψ i − 1 ( x ) , ψ i ( x ) \varphi_{i-1}(x),\varphi_{i}(x),\psi_{i-1}(x),\psi_{i}(x) φi−1​(x),φi​(x),ψi−1​(x),ψi​(x)。由上面的条件的第一列可以得到 φ i − 1 ( x ) \varphi_{i-1}(x) φi−1​(x)满足条件：

由上式中的第二、第四个条件可知 φ i − 1 ( x ) \varphi_{i-1}(x) φi−1​(x)应该具有形式（ φ i − 1 ( x ) \varphi_{i-1}(x) φi−1​(x)是三次多项式）：

这时：

再由（1）式中的第一、第三个条件分别代入（2），（3）式得到：

其中 h i = x i − x i − 1 h_i=x_i-x_{i-1} hi​=xi​−xi−1​。

解此线性方程组得到：

将a、b代入（2）式得到：

类似地有：

因此将得到：

这样，便求出了分段三次Hermite插值多项式：

THE END.
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